A combination between the reduced basis method and the ANOVA expansion: on the computation of sensitivity indices

We consider a method to efficiently evaluate in a real-time context an output based on the numerical solution of a partial differential equation depending on a large number of parameters. We state a result allowing to improve the computational performance of a three steps RB-ANOVA-RB method. This is a combination of the reduced basis (RB) method and the analysis of variations (ANOVA) expansion, aiming at compressing the parameter space without affecting the accuracy of the output. The idea of this method is to compute a first (coarse) RB approximation of the output of interest involving all the parameter components but with a large tolerance on the a posteriori error estimate; then, we evaluate the ANOVA expansion of the output and freeze the least important parameter components; finally, considering a restricted model involving just the retained parameter components, we compute a second (fine) RB approximation with a smaller tolerance on the a posteriori error estimate. The fine RB approximation entails lower computational costs than the coarse one, because of the reduction of parameter dimensionality. Our result provides a criterion to avoid the computation of those terms in the ANOVA expansion which are related to the interaction between parameters in the bilinear form, thus making the RB-ANOVA-RB procedure computationally more feasible. Résumé Une combinaison entre la méthode des bases réduites et l’extension ANOVA : sur le calcul des indices de sensibilité. Nous considérons une méthode afin d’évaluer en temps réel de manière efficace une fonctionnelle basée sur la solution numérique d’une équation aux dérivées partielles dépendant d’un grand nombre de paramètres. Nous présentons un résultat qui permet d’améliorer la méthode en trois étapes RB-ANOVA-RB. Cette dernière est une combinaison de la méthode des bases réduites (RB) et de la méthode d’expansion d’analyse des variations (ANOVA). Le but est de pouvoir compresser l’espace des paramètres sans affecter la précision de notre fonctionnelle. Dans un premier temps, nous calculons une première approximation (grossière) RB de notre problème en considérant toutes les composantes des paramètres. Ensuite, nous utilisons l’approximation obtenue pour calculer l’expansion ANOVA de la fonctionnelle afin de déterminer l’influence de chacune des composantes de nos paramètres sur ce dernier et fixer les moins influentes. Finalement, une deuxième approximation (fine) RB est faite sur le modèle ne contenant que les composantes les plus importantes. Le résultat que nous présentons ici donne un critère pour éviter le calcul de termes basé sur l’interaction des composantes des paramètres dans la forme bilinéaire, permettant ainsi de diminuer drastiquement les coûts computationnels liés à l’expansion ANOVA. Email addresses: [email protected] (Denis Devaud), [email protected] (Andrea Manzoni), [email protected] (Gianluigi Rozza) Preprint submitted to the Académie des sciences 31 juillet 2013 Version française abrégée Ce que nous présentons ici est une amélioration de la méthode en trois étapes RB-ANOVA-RB originalement introduite par Hesthaven et Zhang dans [4] pour évaluer des fonctionnelles linéaires dépendant de la solution d’une équation aux dérivées partielles paramétrique. Dans la méthode ANOVA, le but est de réduire les coûts computationnels liés à la partie dite online de la méthode des bases réduites, en étant intéressé à évaluer une fonctionnelle sans affecter la précision de notre approximation. Jusqu’ici, rien n’a été fait pour réduire les calculs de la phase offline, qui sont souvent très élevés. Nous présentons alors un résultat qui permet d’éviter le calcul de certains termes de l’expansion ANOVA et par conséquent d’en réduire les coûts computationnels, rendant ainsi la méthode beaucoup plus efficace. Le problème considéré est le suivant : étant donné μ ∈ D = ∪i=1[ai, bi] avec ai, bi ∈ R, évaluer la fonctionnelle s(μ) = l(u(μ)), où u(μ) ∈ X(Ω(μ)) est la solution du problème a(u(μ), v;μ) = f(v), ∀v ∈ X(Ω(μ)). Ici la forme bilinéaire a(·, · ;μ) dépend de manière affine de μ (voir (1)). De plus, nous imposons que a(·, · ;μ) soit symétrique et que l = f . Dans notre cas, a(·, · ;μ) est associée à un opérateur aux dérivées partielles paramétrique. Afin de résoudre ce problème, nous considérons une méthode en troise étapes RB-ANOVA-RB, qui est une combinaison de la méthode des bases réduites (RB) et de la méthode d’Analyse des Variations dite ANOVA [4]. Le but est de pouvoir compresser l’espace des paramètres sans réduire la précision sur la fonctionnelle. L’idée est d’appliquer une première fois la méthode des bases réduites à notre problème, ce qui donne une approximation sN (μ) de notre fonctionnelle. Ici, N est la dimension de l’espace éléments finis et N celui de l’espace bases réduites. Ensuite nous calculons une expansion ANOVA de notre fonctionnelle (voir (2), section 1) afin d’évaluer l’influence de chaque composante des paramètres, et fixons les moins influentes. Finalement, une approximation fine en bases réduites de notre problème dont l’espace des paramètres a été compressé est calculée, donnant lieu à des coûts computationnels beaucoup plus faible que ceux liés au problème original. La raison pour laquelle une telle méthode est utilisée est que lorsque le nombre de paramètres augmente, les coûts computationnels augmentent considérablement. Le but est donc de réduire le nombre de paramètres sans affecter la précision de notre fonctionnelle. L’intuition de cette méthode vient du fait que dans le cas où les paramètres sont géométriques, on peut s’attendre à trouver des colinéarités entre les composantes tandis que dans le cas de paramètres physiques, l’influence sur la fonctionnelle peut être dans certains cas négligeable. Au cours de cette procédure, le calcul de certains termes de l’expansion ANOVA peut être très coûteux. Nous donnons alors un critère permettant de déterminer a priori si certains de ces termes sont nuls. Étant donné l’expansion affine (définie en (1)) de notre forme bilinéaire en termes Θa(μ)a (·, · ;μ), 1 ≤ q ≤ Q, et un ensemble τ d’indices (correspondant à certaines composantes de nos vecteurs de paramètres), si pour chaque 1 ≤ q ≤ Q il existe un indice iq ∈ τ tel que Θa(·) soit indépendant de μiq , alors Sτ = 0, où Sτ est l’indice de sensibilité (défini en (3)) utilisé pour déterminer l’influence des composantes indicées par τ sur la fonctionnelle. Ce résultat est très utile car il permet de gagner un temps de calcul considérable en étudiant les termes de la décomposition affine de la forme bilinéaire a(·, · ;μ). Ceci est d’autant plus avantageux que lorsque |τ | augmente, les coûts computationnels liés au calcul de Sτ augmentent considérablement. Dans le cas où les paramètres sont physiques, les termes Θq (·) dépendent souvent d’une ou deux composantes de μ (car liés à la propriété physique d’une région du domaine) et donc certains termes pour lesquels |τ | = 2 et tous ceux qui sont tels que |τ | ≥ 3 n’ont pas besoin d’être calculés. D’autre part, dans le cas de paramètres géométriques, il est parfois possible de découper le domaine de manière à ce que le critère donné soit respecté. L’exemple numérique considéré est un cas de conductivité thermique pure. On divise un carré en quatre bandes, chacune ayant son propre coefficient de conductivité. On impose des conditions de types Dirichlet homogène sur le bord supérieur, Neumann unitaires sur le bord inférieur et Neumann homogène sur les bords latéraux. Dans ce cas, la fonctionnelle est donnée par l’intégrale de la chaleur sur le bord inférieur (car l = f). Ainsi, chaque Θq , q = 1, . . . , 4, ne dépend que d’une seule composante du paramètre puisque Θq (μ) = 100 2μq−1 si q = 1 et Θq (μ) = 1.1 2μq−1 sinon. On calcule tous les termes nuls a priori et on montre qu’ils sont bien nuls et que leur évaluation représente environ 90% du temps total de calcul. Par conséquent, dans le cas où le problème considéré comprend un grand nombre de paramètres, il est important d’utiliser un tel résultat afin d’éviter que les coûts computationnels ne soient trop élevés.